Pengenalan metode lagrange

halo sobat sains, kali ini kita akan membahas materi fisika yaitu metode lagrange. mungkin sebelumnya ada yang belum tahu apa itu metode lagrange. nah di sini akan saya kenalkan dahulu apa itu metode lagrange. Kita mulai dari yang paling dasar tentang hukum newton.

Hukum Newton dapat diterapkan, jika gaya yang bekerja pada sebuah benda diketahui. Namun dalam kebanyakan kasus, persoalan yang dihadapi terkadang tidak mudah diselesaikan dengan menggunakan dinamika gerak serta persyaratan awal yang diberikan. Sebagai contoh, benda yang bergerak pada sebuah permukaan berbentuk bola. Persoalan yang dihadapi bukan hanya pada bentuk gaya yang bekerja, akan tetapi penggunaan koordinat, baik cartesian maupun koordinat lainnya sudah tidak efektif lagi digunakan, sekalipun bentuk persamaan gayanya diketahui.

nah maka dari itu dalam artikel ini

akan dibahas tentang sebuah pendekatan yang lebih efektif digunakan dalam mencari persamaan gerak sistem yang pertama dikembangkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange yang disebut formalisme Lagrange. Disamping formalisme Lagrange terdapat pula formalisme Hamilton yang sangat mirip. Perbedaaan keduanya terletak pada koordinat umum yang dipakai. Formalisme Hamilton menggunakan posisi dan kecepatan sebagai koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digunakan untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu. Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.

1. KOORDINAT RAMPATAN (UMUM)

            Posisi sebuah partikel dalam l ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis koordinat; dapat berupa koordinat Kartesian, koordinat bola atau koordinat silinder.  Jika partikel bergerak pada sebuah bidang, atau pada sebuah permukaan yang terbatas, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya, sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.

Jika sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel. Secara umum, terdapat n jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan

                                            q_1, q₂, …..q_n                                           (1)

yang disebut dengan koordinat rampatan (generalized coordinates). Istilah rampat diambil dari kata merampat dan papan Koordinat q_k dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat dapat berubah secara bebas terhadap lainnya; sistem tersebut dinamakan holonomic. Jumlah koordinat n dalam hal ini disebut dengan derajat kebebasan  sistem tersebut.

            Dalam sistem yang nonholonomic, masing-masing koordinat tidak dapat berubah secara bebas satu sama lain, yang berarti bahwa banyaknya derajat kebebasan adalah lebih kecil dari jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem. Salah satu contoh sistem nonholonomic adalah sebuah bola yang dibatasi meluncur pada sebuah bidang kasar. Lima koordinat diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem, yakni dua koordinat untuk menyatakan posisi pusat bola dan tiga koordinat untuk menyatakan perputarannya. Dalam hal ini, koordinat-koordinat tersebut tidak dapat berubah semuanya secara bebas. Jika bola tersebut menggelinding, paling kurang dua koordinat mesti berubah. Dalam pembahasan selanjutnya kita akan membatasi diri pada sistem holonomic.

            Untuk partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah diungkapkan dengan menggunakan koordinat Kartesius:

 x = x(q)

(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah kurva).

 x = x(q₁,q₂)

(dua derajat kebebasan - gerak pada sebuah  permukaan).

            x = x(q₁,q₂,q₃)                         

            y = y(q₁,q₂,q₃) 

            z = z(q₁,q₂,q₃)                         

(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah ruang)

            Misalkan q berubah dari harga awal (q₁,q₂, ….) menuju harga (q₁+dq₁,q₂+dq₁ ..). Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah :

                                           (2)

                                            (3)

                                           (4)

Turunan parsial ¶x/¶q₁ dan seterusnya adalah fungsi dari q. Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. Misalkan kita memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini :

                             q₁ = r                                  q₂ = q                                (5)

Selanjutnya :

                                            x = x(r,q) = r cosq

                                           y = y(r,q) = r sinq                                 (6)

dan

              = cos q dr - r sin q dq                (7)

              = sin q dr + r cos q dq               (8)

            Sekarang perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan :

                                           q_1, q₂, …..q_n                                             (9)

Selanjutnya perubahan konfigurasi dari (q_1, q₂, …..q_n) ke konfigurasi di dekatnya (q₁+dq_1, q₂+dq₂, …q_n+dq_n) menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik (x_i,y_i,z_i) ke titik di dekatnya (x_i+dx_i,y_i+dy_i,z_i+dz_i) dimana:

                                                                         (10)

                                                                         (11)

                                                                         (12)

            Persamaan (10–12) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol x_i kita pakai untuk menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung N partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N.

 

Posted in: materi fisika